En mecánica cuántica, especialmente en el campo de la información cuántica, la purificación se refiere al hecho que cada estado mixto actuando en un espacio de Hilbert de dimensión finita puede ser visto como el estado reducido de algún estado puro.
En términos puramente algebraicos, esto puede ser considerado como una proposición de las matrices semidefinidas positivas .
una matriz densidad que actúa en un espacio de Hilbert
de dimensión finita
Entonces existe un espacio de Hilbert
espacio y un estado puro
{\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}
tal que la traza parcial de
con respecto a
es Se dice que
es la purificación de
Una matriz densidad es por definición semidefinida positiva.
Así que
puede ser diagonalizada y escrita como
otra copia del espacio de Hilbert
-dimensional con una base ortonormal
Se define
{\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}
por[1] Un cálculo directo da
{\displaystyle =\operatorname {tr_{B}} \left(\sum _{i,j}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}|i\rangle \langle j|\otimes |i'\rangle \langle j'|\right)=\sum _{i,j}\delta _{ij}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}|i\rangle \langle j|=\rho .}
Esto prueba la proposición.