En álgebra lineal, la descomposición de Schmidt (nombrada por su inventor Erhard Schmidt) es una manera particular de expresar un vector en el producto de tensorial de dos espacios de producto interior.
Tiene numerosas aplicaciones en teoría de información cuántica, por ejemplo en caracterización del entrelazamiento cuántico y en purificación de estados, y en plasticidad.
y espacios de Hilbert de dimensiones n y m respectivamente.
Para cualquier vector en el espacio producto tensorial
, existen conjuntos ortonormales
son reales no-negativos, y, los conjuntos están determinados unívocamente por
La descomposición de Schmidt es esencialmente la descomposición de valores singulares en un contexto diferente.
Fijando bases ortonormales
{\displaystyle e_{i}f_{j}^{T}}
Un elemento general del espacio producto tensorial puede ser visto como la matriz
Por la descomposición de valores singulares, existen una matriz unitaria
, y una matriz diagonal semidefinida positiva
los primeros m vectores columna de
La expresión anterior es entonces Por tanto lo que prueba la proposición.
del producto tensorial en la forma de descomposición de Schmidt Formando la matriz de rango 1
con respetar a cualquier sistema A o B, es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales no nulos son
En otras palabras, la descomposición de Schmidt muestra que el estado reducido de
en cualquier subsistema tiene el mismo espectro.
son sus coeficientes de Schmidt.
, contados con su multiplicidad, se denomina rango de Schmidt, o número de Schmidt.
se puede expresar como producto entonces
está entrelazado si y solo si
tiene rango de Schmidt estrictamente mayor que 1.
Por tanto, dos subsistemas que forman un estado puro están entrelazados si y solo si sus estados reducidos son estados mixtos.
Una consecuencia de lo anterior es que, para estados bipartitos puros, la entropía de von Neumann de los estados reducidos es una medida bien definida del entrelazamiento.
es un estado producto (no entrelazado).
En el campo de la plasticidad, los sólidos cristalinos como metales se deforman plasticamente principalmente a lo largo de los planos del cristal.
Cada plano, definido por su vector normal ν puede "deslizar" en una de varias direcciones, definidos por un vector μ.
Juntos el plano de deslizamiento y la dirección forman un sistema de deslizamiento que está descrito por el Schmidt tensor
El gradiente de velocidad es una combinación lineal de estos tensores a través de todos sistemas de deslizamiento donde el factor de deslizamiento es la tasa de deslizamiento a lo largo del sistema.