Recta proyectiva real
Es una extensión de la idea habitual de recta que se ha introducido históricamente para resolver un problema planteado por el dibujo en perspectiva: dos rectas paralelas no se cruzan, pero parecen cruzarse «en el infinito».
Para solucionar este problema se han introducido puntos en el infinito, de forma que en un plano proyectivo real, dos líneas rectas proyectivas distintas se encuentran exactamente en un punto.
Formalmente, una recta proyectiva real P(R) se define como el conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.
Topológicamente, las rectas proyectivas reales son homeomórficas a circunferencias.
El punto de partida es un espacio vectorial de dimensión 2, V, en el que se define V ∖ 0, una relación binaria v ~ w que se mantendrá cuando exista un número real distinto de cero t tal que v= tw.
Cada clase de equivalencia se considera como un solo punto o, en otras palabras, un «punto» se define como una clase de equivalencia.
Si se elige una base de V, esto equivale (identificando un vector con sus componentes) a identificar V con el producto directo R × R= R2, y la relación de equivalencia se convierte en (x, y) ~ (w, z) si existe un número real distinto de cero t tal que (x, y)= (tw, tz).
En este caso, la recta proyectiva P(R2) se designa preferentemente como P1(R) o
Estas dificultades se resuelven considerando V como un espacio euclídeo.
Este círculo corta cada clase de equivalencia en exactamente dos puntos opuestos.
Por lo tanto, la recta proyectiva puede ser considerada como el espacio cociente del círculo por la relación de equivalencia tal que v ~ w si y solo si v= w o v= −w.
Cualquiera de los valores x o y puede ser cero, pero no ambos a la vez, por lo que se necesitan ambas cartas para recubrir la recta proyectiva.
Esto muestra que la noción de punto en el infinito no es intrínseca a la recta proyectiva real, sino que es relativa a la elección de una incrustación de la recta real en la recta proyectiva.
La principal de estas estructuras es la relación armónica entre los puntos del rango proyectivo.
La multiplicación matriz-vector define una acción a la izquierda de GL2(R) en el espacio R2 de vectores columna: Explícitamente, Dado que cada matriz en GL2(R) fija el vector cero y aplica vectores proporcionales a vectores proporcionales, existe una acción inducida de GL2(R) en P1(R): explícitamente,[2] Aquí y más adelante, la notación
,[6] en el entendimiento de que cada fracción con denominador 0 debe interpretarse[7] como ∞.
