En álgebra lineal, una relación lineal (o simplemente relación) entre elementos de un espacio vectorial o de un módulo es una ecuación de primer grado que tiene estos elementos como solución.
son elementos de un módulo (por la izquierda) M sobre un anillo R (el caso de un espacio vectorial sobre un cuerpo es un caso especial), una relación entre
son módulos sizigia correspondientes a dos conjuntos generadores del mismo módulo, entonces se dice que son establemente isomorfos, lo que significa que existen dos módulos libres
El caso n = 0 es el hecho de que cada espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, y el caso n = 1 es el hecho de que K[x] es un dominio de ideales principales y que cada submódulo de un módulo K[x] libre finitamente generado también es libre.
La construcción de módulos sizigia de orden superior se generaliza como la definición de resolución libre, lo que permite reformular el teorema de la sizigia de Hilbert como un anillo polinómico n indeterminado sobre un campo que tiene dimensión homológica global n. Si a y b son dos elementos del anillo conmutativo R, entonces (b, –a) es una relación que se dice "trivial".
Sea R un anillo y M un R-módulo por la izquierda.
es un conjunto generador de M, la relación a menudo se denomina "sizigia" de M. Esta terminología tiene sentido, ya que, aunque el módulo de sizigia depende del conjunto generador elegido, la mayoría de sus propiedades son independientes; Si el anillo R es noetheriano, o al menos coherente, y si M es generado finitamente, entonces el módulo de sizigia también se genera de forma finita.
En términos generales, en el lenguaje de la K-teoría, una propiedad es "estable" si se convierte en verdadera al hacer una suma directa con un módulo libre suficientemente grande.
Una propiedad fundamental de los módulos sizigia es que existen "establemente independientes" en las opciones de los conjuntos generadores para los módulos involucrados.
El siguiente resultado es la base de estas propiedades estables.
un conjunto generador de un R-módulo M, y
es la suma directa del módulo de las relaciones entre
y un módulo libre de orden n. Prueba: Como
Es sencillo demostrar que esta descomposición es única, y esto prueba el resultado.
Además, permite comprobar que el primer módulo de sizigia es "establemente único".
Más precisamente, dados dos conjuntos generadores
Esto completa la demostración del siguiente teorema.
son módulos de sizigia k-ésimos que se obtienen mediante diferentes elecciones de conjuntos generadores, entonces hay módulos libres
Esto define una sucesión exacta donde la flecha izquierda es la aplicación lineal que asigna cada
El núcleo de esta flecha izquierda es un primer módulo de sizigia de M. Se puede repetir esta construcción con este núcleo en lugar de M. Repitiendo una y otra vez esta construcción, se obtiene una secuencia larga y exacta donde todos los
Por definición, una secuencia tan larga y exacta es una resolución libre de M. Para cada k ≥ 1, el núcleo
Una resolución libre es finita de longitud ≤ n si
es un anillo de polinomios en n indeterminado sobre un cuerpo K, entonces cada resolución libre tiene una longitud finita como máximo de n. La dimensión global de un anillo noetheriano conmutativo es infinita o el n mínimo de modo que cada resolución libre tiene una longitud finita como máximo de n. Un anillo noetheriano conmutativo es regular si su dimensión global es finita.
Por lo tanto, el teorema de la sizigia de Hilbert puede reformularse en una oración muy corta que esconde muchas matemáticas: Un anillo polinomial sobre un cuerpo es un anillo regular.
En un anillo conmutativo R, siempre se tiene que ab– ba = 0.
de un ideal I, se llama relación trivial o sizigia trivial a cada elemento del submódulo del módulo de sizigia que es generado por estas relaciones tiviales entre dos elementos generadores.
Más precisamente, el módulo de las sizigias triviales es generado por las relaciones tal que
La palabra "sizigia" (syzygy en inglés), procedente del griego "συζυγία" (syzygía, 'unión') a través de la astronomía (donde se refiere a la conjunción de dos planetas), entró en las matemáticas con el trabajo de Arthur Cayley.
[1] En ese artículo, Cayley utilizó el término en la teoría de resultantes y discriminantes.
En su artículo, Cayley hace uso, en un caso especial, de lo que luego fue[3] llamado complejo de Koszul, después de una construcción similar en geometría diferencial ideada por el matemático Jean-Louis Koszul.