Seno del topólogo
utilizada frecuentemente para ilustrar determinadas propiedades de los espacios topológicos.
[1] Se utiliza especialmente a modo de ejemplo de espacio topológico que es conexo pero no conexo por caminos.
Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de gráfica de la función
, y que se define a su vez como la unión de
con su frontera, el segmento Estos puntos están en la adherencia porque son puntos límite de las sucesiones
( arcsin y + 2 π n )
A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor.
[1] El seno del topólogo es un ejemplo clásico de espacio conexo pero no conexo por caminos, mostrando que no son propiedades equivalentes, aunque conexo por caminos sí que implique conexo.
En primer lugar, veamos que es conexo.
, ya hemos visto que el seno del topólogo está contenido (de hecho, es, pero nos basta que esté contenido) en la adherencia
, pues sus puntos son del propio
, que son puntos límite de las sucesiones
conexo (de hecho es conexo por caminos; entre dos puntos cualesquiera podemos seguir el camino que marca la gráfica) y estar el seno del topólogo contenido en su adherencia, este último vuelve a ser conexo.
Demostremos ahora que el seno del topólogo no es conexo por caminos.
y veremos que no podemos encontrar un camino continuo que lo una a ningún punto de la gráfica
Esto que parece intuitivamente claro no es inmediato de demostrar.
) y veremos que no puede salir del segmento vertical izquierdo
En particular, habremos visto que no se puede unir continuamente a ningún punto fuera de ese segmento y, entonces, que
Para ver la igualdad planteamos el argumento siguiente.
es clopen (abierto y cerrado a la vez), pues los únicos clopens de un conjunto conexo son el vacío y el total, y
sería un clopen no vacío de
es abierto y cerrado a la vez.
Que es cerrado está claro, pues
intersecado con una bola abierta, por definición de topología inducida) a su alrededor.
a la vez (sólo puede tocar una).
Esto será importante más adelante.
por definición de topología inducida.
Supongamos que tal conjunto conexo (llamémoslo aquí
, es decir, tuviera un punto fuera de
De aquí vamos a construir una separación, lo que querría decir que no es conexo, una contradicción.
