En cálculo, integración por sustitución, también conocido como cambio de variable, es un método para evaluar integrales y antiderivadas.
[1] Es la contraparte a la regla de cadena para diferenciación.
Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.
es una constante arbitraria de integración.
Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso.
En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.
Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.
es una función continua entonces La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.
La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.
tal que es integrable en el intervalo cerrado
Por lo que las integrales y existen y queda demostrar que son iguales.
es diferenciable, combinando la regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos Considere la integral Haga la sustitución
, regresar a la variable original
La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas.
mediante diferenciación y realiza las sustituciones.
Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método: donde
es una constante arbitraria de integración.
Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original
La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno: Utilizando la sustitución
y Uno también puede utilizar el método de sustitución cuando integra funciones de varias variables.
Aquí la función de sustitución
necesita ser inyectiva y continuamente diferenciable, los diferenciales se transforman como donde
De manera más precisa, el fórmula del cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema Teorema.
una función diferenciable inyectiva con derivadas parciales continuas entonces para cualquier función continua real
una función inyectiva, suponga que para cada
es medible y para cualquier función real
La sustitución puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad: dada una variable aleatoria
Podemos progresar si consideramos el problema en la variable
dependan de varias variables no correlacionadas, es decir,
puede ser hallada por sustitución en varias variables como se mencionó anteriormente, este resultado es