Teoría de Floquet

La teoría de Floquet es una rama de las ecuaciones diferenciales ordinarias relacionada con las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales periódicas de la forma donde

y que define la estabilidad de las soluciones.

El teorema de Floquet, el teorema principal de la teoría de Floquet, se debe a Gaston Floquet (1883)[1]​ y da una forma canónica para cada matriz fundamental de soluciones del sistema lineal.

Mediante un cambio de coordenadas

, se transforma el sistema periódico en un sistema lineal con coeficientes constantes reales.

Al aplicarse a sistemas físicos con potenciales periódicos, como los cristales en la física de la materia condensada, el resultado se conoce como teorema de Bloch.

Debe recordarse que: Sea

una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde

es un vector columna de longitud

una matriz fundamental de soluciones de esta ecuación diferencial (es decir, tal que tiene por columnas una base de soluciones de la ecuación), se tiene que para todo

se denomina matriz de monodromía.

(posiblemente compleja) que cumpla

existe una función matricial periódica

Se pueden rebajar las condiciones de periodicidad para la función matricial para que sea real: existe una matriz

y un función matricial real periódica

Por tanto, la aplicación da lugar a un cambio de coordenadas que depende del tiempo (

), bajo el cual el sistema original se convierte en un sistema lineal con coeficientes reales constantes

continua y periódica, debe ser acotada.

Por lo tanto, la estabilidad de la solución cero para

está determinada por los valores propios de

se llama forma normal de Floquet para la matriz fundamental

Los valores propios de

se denominan multiplicadores característicos del sistema.

Estos son además los valores propios de las aplicaciones de Poincaré (lineales)

Se conoce como exponente de Floquet (a veces llamado exponente característico), al valor complejo

es multiplicador característico del sistema.

Debe observarse que los exponentes de Floquet no son únicos, ya que

2 π i k

Las partes reales de los exponentes de Floquet se llaman exponentes de Lyapunov.

La solución cero es asintóticamente estable si todos los exponentes de Lyapunov son negativos, Lyapunov estable si los exponentes de Lyapunov no son positivos e inestable en caso contrario.