En matemáticas, la teoría de Hodge es una herramienta útil en el estudio de las formas diferenciales en una variedad diferenciable M. Con mayor precisión, se utiliza para el estudio del grupo de cohomología de M, con coeficientes reales, mediante el uso del operador laplaciano asociado a una métrica de Riemann definida en M. La teoría fue desarrollada por W. V. D. Hodge en los años 1930 como una extensión de la cohomología de De Rham, aplicándose principalmente para: En el desarrollo original, M se suponía una variedad cerrada (es decir, compacta y sin frontera).
En los tres puntos de aplicación mencionados, la teoría fue de gran influencia en trabajos posteriores, siendo continuada, entre otros, por Kunihiko Kodaira (en Japón y después en Princeton, bajo la influencia parcial de Hermann Weyl).
El operador Laplaciano para formas se define entonces mediante Δ = dδ + δd.
Esto permite definir el concepto de forma armónica y sus espacios asociados.
La primera parte del conocido como Teorema de Hodge afirma que dicha aplicación φ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Esto se debe a que el operardor definido como Δ es, en particular, elíptico, y el núcleo de un operador elíptico en una variedad compacta siempre es de dimensión finita.
De forma más general, la teoría de Hodge se aplica a cualquier complejo elíptico sobre una variedad compacta.
un fibrado vectorial, con su correspondiente métrica, en una variedad compacta M y sea dV su forma de volumen.
Se introduce la suma directa: y sea L* el adjunto de L. Se puede definir el operador elíptico Δ = LL* + L*L. Al igual que en el caso de De Rham, puede entonces definirse el espacio vectorial de las secciones armónicas.
la proyección ortogonal, y sea G la operador de Green para Δ.
possee la descomposición requerida en subespacios complejos Hp, q.
donde Ωp es el haz de p-formas holomorfas.
Esto permite, en este caso, tener una interpretación más algebraica, que no recurre a ningún laplaciano.