En matemáticas, el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión.
Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones.
Este teorema puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro.
Recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro.
Sean
dos sucesiones tales que:
o bien Entonces, el límite:
lim
a
= λ
Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo
.Otra forma de enunciación es la siguiente: Sean
y
dos sucesiones de números reales.
Asumiendo que
sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite: Entonces podemos asegurar que el límite existe y es igual a
siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.
Sean
dos sucesiones tales que, Entonces,
La forma general del teorema de Stolz–Cesàro es la siguiente:[1] Si
son dos sucesiones tales que
es monótona y no acotada, entonces: El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a
de la sucesión dada por[2]
Para ello, se considera la sucesión del numerador,
, y la del denominador,
(es monótona creciente y divergente a
Por aplicación del criterio,
Por el criterio de la raíz, se tiene el siguiente límite:[3]
Para demostrarlo, es suficiente considerar que la sucesión
y tener en cuenta que