En geometría diferencial, el teorema del índice de Atiyah-Singer, demostrado por Michael Atiyah e Isadore Singer en 1963,[1] afirma que para un operador diferencial elíptico en una variedad cerrada, el índice analítico (relacionado con la dimensión del espacio de soluciones) es igual al índice topológico (definido en términos de algunos datos topológicos).
[2] El problema del índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado por Izrail Guelfand.
Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían demostrado la integrabilidad del  género de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integrabilidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).
[1] La demostración esbozada en este anuncio nunca fue publicada por ellos, aunque aparece en el libro de Palais.
[7] Si D es un operador diferencial sobre un espacio euclidiano de orden n en k variables
El operador se llama elíptico si el símbolo es distinto de cero siempre que al menos un y sea distinto de cero.
Ejemplo: El operador de Laplace en k variables tiene símbolo
, ya que el símbolo desaparece para algunos valores no nulos de las "y".
Una propiedad clave de los operadores elípticos es que son casi invertibles; esto está estrechamente relacionado con el hecho de que sus símbolos son casi invertibles.
(Este es el ejemplo más sencillo de un operador elíptico.)
Entonces el núcleo es el espacio de múltiplos de exp(λx) si λ es un múltiplo integral de 2πi y es 0 en caso contrario, y el núcleo del adjunto es un espacio similar con λ sustituido por su conjugado complejo.
Este ejemplo muestra que el núcleo y el cokernel de los operadores elípticos pueden saltar de forma discontinua al variar el operador elíptico, por lo que no existe una fórmula agradable para sus dimensiones en términos de datos topológicos continuos.
Sin embargo, los saltos en las dimensiones del núcleo y del coquímetro son los mismos, por lo que el índice, dado por la diferencia de sus dimensiones, sí varía de forma continua, y puede darse en términos de datos topológicos por el teorema del índice.
Aquí También se puede definir el índice topológico utilizando sólo la teoría K (y esta definición alternativa es compatible en cierto sentido con la construcción de caracteres de Chern anterior).
Ahora un operador diferencial como el anterior define naturalmente un elemento de K(TX), y la imagen en Z bajo este mapa "es" el índice topológico.
Como es habitual, D es un operador diferencial elíptico entre haces vectoriales E y F sobre una variedad compacta X.
Aunque el índice analítico suele ser difícil de evaluar directamente, al menos es obviamente un número entero.
de variedades compactas establemente casi complejas, entonces hay un diagrama conmutativo[19]si
Debido a (Donaldson y Sullivan, 1989),(Connes, Sullivan y Teleman, 1994): Esta teoría se basa en un operador de firma S, definido en formas diferenciales de grado medio en variedades cuasiconformes de dimensiones pares (compárese (Donaldson y Sullivan, 1989)).
Utilizando el cobordismo topológico y la K-homología se puede proporcionar un enunciado completo de un teorema del índice en las variedades cuasiconformes (véase la página 678 de (Connes, Sullivan y Teleman, 1994)).
El trabajo (Connes, Sullivan y Teleman, 1994) proporciona construcciones locales para clases características basadas en parientes de dimensión superior del mapeo medible de Riemann en dimensión dos y la teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro.
Es importante mencionar que la fórmula del índice es un enunciado topológico.
Las teorías de obstrucción debidas a Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson muestran que sólo una minoría de las variedades topológicas poseen estructuras diferenciables y éstas no son necesariamente únicas.
El resultado de Sullivan sobre las estructuras Lipschitz y cuasiconformes (Sullivan, 1979) muestra que cualquier variedad topológica de dimensión diferente a 4 posee una estructura de este tipo que es única (hasta la isotopía cercana a la identidad).
Las estructuras cuasiconformes (Connes, Sullivan y Teleman, 1994) y más generalmente las Lp-estructuras, p > n(n+1)/2, introducidas por M. Hilsum (Hilsum, 1999), son las estructuras analíticas más débiles en las variedades topológicas de dimensión n para las que se sabe que el teorema del índice se cumple.
Si U es la matriz unitaria en la dirección del campo de Higgs, entonces el índice es proporcional a la integral de U(dU)n-1 sobre la (n-1)-esfera en el infinito.
La fórmula del índice para este operador produce el Teorema de Gauss-Bonnet generalizado.
Tomemos que X es una variedad compleja con un haz vectorial holomorfo V. Dejamos que los haces vectoriales E y F sean las sumas de los haces de formas diferenciales con coeficientes en V de tipo (0,i) con i par o impar, y dejamos que el operador diferencial D sea la suma restringido a E.
De hecho obtenemos una generalización del mismo a todas las variedades complejas: La prueba de Hirzebruch sólo funcionaba para las variedades complejas proyectivas' X.
Esta derivación del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es más natural si utilizamos el teorema del índice para complejos elípticos en lugar de operadores elípticos.