En matemáticas, los test de convergencia son métodos para evaluar la convergencia, la convergencia condicional, la convergencia absoluta, el intervalo de convergencia y divergencia de una serie infinita.
También denominado test preliminar.
[1] Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir, si
n
entonces la serie diverge.
En este sentido, las sumas parciales son Sucesión de Cauchy si y solo si este límite existe y es igual a cero.
El test no es concluyente si el límite del sumando es cero.
Suponemos que existe
tal que:
Definimos r cómo: La serie se puede comparar con una integral y establecer de esta forma la convergencia o divergencia de la misma.
{\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}
es una función positiva y monótona decreciente tal que
f ( n ) =
{\displaystyle f(n)=a_{n}}
es absolutamente convergente y
para a n suficientemente grande, entonces la serie
n
converge absolutamente.
, y el límite
existe y es diferente de cero, entonces
converge si y solo si
una secuencia positiva no creciente.
converge si y solo si la suma
Además, si convergen, entonces
Suponiendo que las siguientes condiciones se cumplen: Entonces
Nótese que este criterio es especialmente útil en el supuesto de que
sea una sucesión convergente no absoluta (léase condicional).
En el caso de que sea absolutamente convergente, a pesar de aplicarse, es casi un corolario evidente.
También conocido como Criterio de Leibniz, suponemos que las siguientes suposiciones son ciertas: Entonces podemos afirmar que:
es una serie convergente.