Triángulo automediano
En geometría euclidiana, un triángulo automediano es aquel en el que las longitudes de sus tres medianas (los segmentos de línea que conectan cada vértice con el punto medio del lado opuesto) son proporcionales a las longitudes de los tres lados, en un orden diferente.
Las tres medianas de un triángulo automediano pueden ser trasladadas para formar los lados de un segundo triángulo que es semejante al primero.
Es decir, para que los tres números a, b y c sean los lados de un triángulo automediano, la secuencia de los tres lados al cuadrado b2, a2 y c2 deben formar una progresión aritmética.
[2] La condición de que 2x < z es necesaria: si no se cumpliera, entonces los tres númerosa = z, b = x + y, y c = x − y todavía satisfarían la ecuación 2a2 = b2+ c2 que caracteriza a los triángulos automedianos, pero no satisfarían la desigualdad triangular, por lo que no podrían usarse para configurar los lados de un triángulo.
En consecuencia, al usar la fórmula de Euler que genera ternas pitagóricas primitivas, es posible generar triángulos automedianos primitivos enteros (es decir, con los lados que no comparten un factor común) como con
se encuentran usando las expresiones anteriores para sus lados en la fórmula general de las medianas: donde la segunda ecuación en cada caso refleja la función automediana
Hay 18 triángulos automedianos enteros primitivos, que se muestran aquí como ternas de lados (a, b, c), hasta b ≤ 200: Por ejemplo, (26, 34, 14) no es una terna automediana primitiva, ya que es un múltiplo de (13, 17, 7), y por lo tanto no aparece en la tabla de arriba.
El estudio de cuadrados enteros en progresión aritmética tiene una larga historia que se remonta a Diofanto de Alejandría y a Fibonacci.
[1] Sin embargo, la conexión entre este problema y los triángulos automedianos es mucho más reciente.
El problema de caracterizar triángulos automedianos fue planteado a finales del siglo XIX en el Educational Times (en francés) por Joseph Neuberg, y resuelto allí con la fórmula 2a2 = b2 + c2 por William John Greenstreet.
Es el único triángulo rectángulo en el que dos de las medianas son perpendiculares entre sí.
