En la formulación ADM de la relatividad general, el espacio-tiempo se divide en secciones espaciales y un eje temporal.
Las variables básicas se toman como la métrica inducida
en la sección espacial y el momento conjugado de la métrica
, que está relacionado con la curvatura extrínseca de las secciones espaciales y es una medida de cómo evoluciona en el tiempo la métrica inducida.
En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables de Ashtekar, para representar una forma inusual de reescribir las variables canónicas métricas en las secciones espaciales tridimensionales en términos de un campo gauge SU(2) y su variable complementaria.
[4] Introduzcamos un conjunto de tres campos vectoriales
se denominan tríada o drei-bein (literalmente "tres piernas" en alemán).
que se comportan como índices de espacio plano (la "métrica" correspondiente que sube y baja los índices internos es simplemente
como Entonces tenemos las dos relaciones de ortogonalidad donde
{\displaystyle \delta _{ij}=q_{ab}E_{j}^{b}E_{i}^{a}}
y utilizando la independencia lineal de los
) que hemos obtenido una fórmula para la métrica inversa en términos de drei-beins: los drei-beins pueden considerarse como la "raíz cuadrada" de la métrica (el significado físico de esto es que la métrica
, cuando se escribe en términos de una base
no es única, y de hecho se puede realizar una rotación local con respecto a los índices internos
Este es el origen de la invariancia gauge
Ahora, si uno va a operar en objetos que tienen índices internos, debe introducir una derivada apropiada (esto es, una derivada covariante gauge).
{\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{bi}/{\sqrt {\det(q)}}}
Se puede comprobar que la tríada densitizada es el momento conjugado del campo gauge
Las variables de Ashtekar propiamente dichas corresponden a la elección
se llama conexión de espín quiral.
se simplifica notablemente la ligadura hamiltoniana de LQG.
Esta elección hace desaparecer su segundo (y complicado) término, y el término restante se convierte en un polinomio en sus nuevas variables.
Esto generó nuevas esperanzas para el programa de gravedad cuántica canónica.
[6] Cuando uno cuantiza la teoría, es una tarea difícil asegurarse de recuperar la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja.
Además, la restricción hamiltoniana con la que Ashtekar trabajó fue la versión densitizada en lugar del hamiltoniano original, es decir, trabajó con
Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico.
Fue Thomas Thiemann quien consiguió utilizar la generalización del formalismo de Ashtekar a conexiones reales (
toma valores reales) y, en particular, ideó una forma de simplificar el hamiltoniano original, junto con el segundo término, en 1996.
También pudo promover esta restricción hamiltoniana a un operador cuántico bien definido dentro de la representación de lazos.
[9][10][11] Estas demostraciones se dieron en términos de espinores.