Fueron introducidas por Karl Stein en 1951 y son relevantes para la geometría compleja por su flexibilidad en términos del principio de Oka y la geometría simpléctica por su equivalencia con las variedades Weinstein.
Una variedad compleja X de dimensión compleja n es una variedad de Stein si es holomórficamente convexa y las funciones holomorfas en X separan puntos.
exista una función holomorfa g en X de modo que Esta segunda propiedad se puede describir equivalentemente pidiendo que la envolvente convexa holomorfa de todo subconjunto compacto de X sea compacta.
Nótese que las subvariedades complejas cerradas de una variedad de Stein son automáticamente Stein no acotadas.
Las variedades de Stein son una clase altamente relevante para aplicaciones del h-principio.
Esto es, variedades en las cuales la existencia de una solución formal de un problema analítico es condición no solo necesaria pero además suficiente para una solución genuinamente analítica del problema.
De hecho, se puede probar que una variedad compleja es de Stein si y solo si se embebe como una variedad compleja cerrada en
Otra caracterización más analítica es el teorema de Grauert estableciendo que una variedad compleja X es de Stein si y solo si admite una función fuertemente subharmónica exhaustiva.