Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937[3][4] y, como se describe en el artículo dedicado a filtros en topología, Nicolas Bourbaki los utilizó posteriormente en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción relacionada de red desarrollada en 1922 por E.
denotan conjuntos (pero no familias, a menos que se indique lo contrario) y
Al trabajar con literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros.
(ni es un prefiltro, porque es no dirigido hacia abajo, aunque es una subbase de filtros) y
Esto demuestra que no puede existir un prefiltro mínimo/más pequeño (con respecto a
; es decir (en marcado contraste con los filtros) no existe un prefiltro mínimo (con respecto a
Cualquier familia no degenerada que tenga un conjunto unitario como elemento es ultra, en cuyo caso será un prefiltro ultra si y solo si también tiene la propiedad de intersección finita.
y este conjunto también es igual al núcleo del sistema Π generado por
se llama la parte principal[9] donde al menos uno de estos ideales duales es un filtro.
es finita, entonces es fija (es decir, no libre); esto se debe a que
También se utiliza para definir la convergencia del prefiltro en un espacio topológico.
y se utiliza en topología para definir puntos de acumulación.
entonces esta lista se puede ampliar para incluir: Si una familia cerrada hacia arriba
sea arbitrario) y queda por demostrar que este conjunto contiene algo de
si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:[8][5] Dos subconjuntos cerrados hacia arriba (en
:[33] En la lista anterior falta la palabra "filtro" porque esta propiedad no se conserva por equivalencia.
Cada filtro es a la vez un sistema Π y un anillo de conjuntos.
no es (necesariamente) sobreyectivo se puede reducir al caso de una función sobreyectiva (que es un caso que se describió al comienzo de esta subsección).
[36] Además, las siguientes relaciones siempre se cumplen para cualquier familia de conjuntos
es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto se denotará por
esté vacío o no cerrado bajo intersecciones finitas (véase nota al pie, por ejemplo).
que tienen medida de Lebesgue finita es un sistema Π adecuado y un prefiltro libre.
Esta sección describe las relaciones entre prefiltros y redes con gran detalle debido a lo importantes que son estos detalles al aplicar filtros a la topología, particularmente al pasar de utilizar redes a utilizar filtros y viceversa, y porque facilita la comprensión posterior de por qué las subredes (con sus definiciones más utilizadas) generalmente no son equivalentes a "subprefiltros".
entonces este preorden no es antisimétrico y dada cualquier familia de conjuntos
Sin embargo, en 1955 Bruns y Schmidt descubrieron[38] una construcción que permite que la red canónica tenga un dominio parcialmente ordenado y dirigido; esto fue redescubierto de forma independiente por Albert Wilansky en 1970.
[37] Comienza con la construcción de un conjunto parcialmente ordenado (lo que significa transitivo y reflexivo)
), normalmente no se pierde nada al suponer que el dominio de la red asociado con un prefiltro es dirigido y parcialmente ordenado.
se reemplaza con números racionales positivos, entonces el orden parcial estricto
Aarnes y Andenaes estudiaron con gran detalle las subredes AA, pero no se utilizan con frecuencia.
En particular, el problema es que la siguiente afirmación es en general falsa: Declaración de falsedad: si