Cúbica resolvente

En otras palabras, se está trabajando en un campo en el que

Siempre que se mencionan las raíces de

En algunos casos, el concepto de cúbica resolvente se define solo cuando

, se obtiene: Si esta expresión es un cuadrado, solo puede ser el cuadrado de Pero la igualdad es equivalente a y esto es lo mismo que la afirmación de que

son las raíces del polinomio junto con las raíces del polinomio Por supuesto, esto no tiene sentido si

Otra posible definición[1]​ (todavía suponiendo que

es una ecuación cuártica reducida) es El origen de esta definición es similar a la anterior.

Esta vez, se comienza haciendo: y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y solo si Un cálculo simple muestra que Otra posible definición[2]​[3]​ (nuevamente, suponiendo que

es una ecuación cuártica reducida) es El origen de esta definición radica en otro método para resolver ecuaciones cuárticas, a saber, el método de Descartes.

expresándolas como producto de dos polinomios mónicos cuadráticos

(teniendo en cuenta que la solución del sistema es cierta si

), el sistema anterior es equivalente a Esto es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones, entonces y Después de reemplazar, en la tercera ecuación,

por estos valores se obtiene y esto es equivalente a la afirmación de que

Es fácil ver esto, dado que Por lo tanto,

es un polinomio reducido, entonces Otra definición más es[5]​[6]​ Si las raíces de

Es fácil ver esto, pues Por lo tanto, como sucede con

Esto también es una consecuencia del hecho de que

es un polinomio cuártico reducido, entonces: Se explicó anteriormente cómo pueden usarse

En el caso general, simplemente se tienen que encontrar las raíces del polinomio reducido

puede expresarse o no como el producto de dos polinomios cuadráticos, suponiendo, por simplicidad, que

Como se vio anteriormente, si la cúbica resolvente

tal polinomio, se puede suponer sin pérdida de generalidad que

También se puede suponer sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque

puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos si y solo si

es un cuerpo cerrado real, entonces cada polinomio cuártico sin raíces en

puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en

De hecho, esta declaración puede expresarse en lógica de primer orden y cualquier declaración que se mantenga para

también se cumple para cualquier campo cerrado real.

Se puede usar un enfoque similar para obtener un algoritmo[2]​ para determinar si un polinomio cuártico

es reducible si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones: En efecto: La cúbica resolvente de un polinomio cuártico irreducible

Gráfico de la función polinómica x 4 + x 3 x 2 – (7/4) x – 1/2 (en verde) junto con el gráfico de su cúbica resolvente R 4 ( y ) (en rojo). Las raíces de ambos polinomios también son visibles