Cúbica resolvente
En otras palabras, se está trabajando en un campo en el que
Siempre que se mencionan las raíces de
En algunos casos, el concepto de cúbica resolvente se define solo cuando
, se obtiene: Si esta expresión es un cuadrado, solo puede ser el cuadrado de Pero la igualdad es equivalente a y esto es lo mismo que la afirmación de que
son las raíces del polinomio junto con las raíces del polinomio Por supuesto, esto no tiene sentido si
Otra posible definición[1] (todavía suponiendo que
es una ecuación cuártica reducida) es El origen de esta definición es similar a la anterior.
Esta vez, se comienza haciendo: y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y solo si Un cálculo simple muestra que Otra posible definición[2][3] (nuevamente, suponiendo que
es una ecuación cuártica reducida) es El origen de esta definición radica en otro método para resolver ecuaciones cuárticas, a saber, el método de Descartes.
expresándolas como producto de dos polinomios mónicos cuadráticos
(teniendo en cuenta que la solución del sistema es cierta si
), el sistema anterior es equivalente a Esto es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones, entonces y Después de reemplazar, en la tercera ecuación,
por estos valores se obtiene y esto es equivalente a la afirmación de que
Es fácil ver esto, dado que Por lo tanto,
es un polinomio reducido, entonces Otra definición más es[5][6] Si las raíces de
Es fácil ver esto, pues Por lo tanto, como sucede con
Esto también es una consecuencia del hecho de que
es un polinomio cuártico reducido, entonces: Se explicó anteriormente cómo pueden usarse
En el caso general, simplemente se tienen que encontrar las raíces del polinomio reducido
puede expresarse o no como el producto de dos polinomios cuadráticos, suponiendo, por simplicidad, que
Como se vio anteriormente, si la cúbica resolvente
tal polinomio, se puede suponer sin pérdida de generalidad que
También se puede suponer sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque
puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos si y solo si
es un cuerpo cerrado real, entonces cada polinomio cuártico sin raíces en
puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en
De hecho, esta declaración puede expresarse en lógica de primer orden y cualquier declaración que se mantenga para
también se cumple para cualquier campo cerrado real.
Se puede usar un enfoque similar para obtener un algoritmo[2] para determinar si un polinomio cuártico
es reducible si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones: En efecto: La cúbica resolvente de un polinomio cuártico irreducible
