Específicamente, si un polinomio cúbico es irreducible (no factorizable en polinomios de grado inferior) sobre los números racionales y tiene tres raíces reales, entonces, para expresar las raíces con radicales, se deben introducir expresiones con valores complejos, aunque las expresiones resultantes sean en última instancia, de valor real.
[1] Es posible determinar si un polinomio cúbico irreducible dado está en casus irreducibilis usando el discriminante D correspondiente a la ecuación de tercer grado.
Entonces según el casus irreducibilis se afirma que es imposible encontrar una solución de p(x) = 0 por radicales reales.
Para probar esto,[3] se debe tener en cuenta que el discriminante D es positivo.
Supóngase que p(x) = 0 puede resolverse mediante radicales reales.
Entonces p(x) puede dividirse por una torre de extensión abeliana En el paso final de la torre, p(x) es irreducible en el penúltimo campo K, pero se divide en K(3√α) para algunos α.
Sin embargo, no hay raíces terceras primitivas de la unidad en un campo cerrado real.
Supóngase que ω es una raíz tercera primitiva de la unidad.
Luego, por los axiomas que definen un cuerpo ordenado, ω, ω2, y 1 son todos positivos.
El casus irreducibilis ocurre cuando ninguna de las raíces es racional y cuando las tres raíces son distintas y reales; el caso de tres raíces reales distintas ocurre si y solo si q2/4 + p3/27 < 0, en cuyo caso la fórmula de Cardano implica primero tomar la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginaria, y luego tomar la raíz cúbica de un número complejo (cuya raíz cúbica no puede por sí misma colocarse en la forma α + βi con expresiones específicamente dadas en radicales reales para α y β, ya que hacerlo requeriría resolver de forma independiente la expresión cúbica original).
Incluso en el caso reducible en el que una de las tres raíces reales es racional, y por lo tanto, puede ser factorizada por división polinomial, la fórmula de Cardano (innecesariamente en este caso) expresa esa raíz (y las otras) en términos de radicales no reales.
Como su discriminante es positivo, tiene tres raíces reales, por lo que es un ejemplo de casus irreducibilis.
La fórmula de Cardano da estas tres raíces reales toma la forma para k = 1, 2, 3.
, y por lo tanto, implica las raíces cúbicas de números complejos conjugados.
La distinción entre los casos cúbicos reducibles e irreducibles con tres raíces reales está relacionada con la cuestión de si un ángulo con coseno racional o seno racional es trisectable por los medios clásicos de regla y compás.
Sea p ∈ F[x] un polinomio irreducible que se divide en una extensión formalmente real R de F (es decir, p solo tiene raíces reales).
571–572 Por lo tanto, para cualquier polinomio irreducible cuyo grado no sea una potencia de 2 y que tenga todas las raíces reales, ninguna raíz puede expresarse únicamente en términos de radicales reales.
El casus irreducibilis para los polinomios quínticos es discutido por Dummit.
[7]: p.17 La distinción entre los casos quínticos reducibles e irreducibles con cinco raíces reales está relacionada con la cuestión de si un ángulo con coseno racional o seno racional es pentasectable (puede dividirse en cinco partes iguales) por los medios clásicos del compás y la regla sin marcas.