será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y
Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto
forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo
será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga
Esto se debe a que el funcional
de Minkowski se define en términos puramente algebraicos.
forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco
[6] En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff
no es de Hausdorff se obtiene dejando que
red de números reales tal que
; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que
se define la siguiente aplicación lineal continua:[5] Si
es más débil que la topología inducida por la seminorma de
[note 2] El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que
será un disco Banach en cualquier EVT en el que
Si existe una topología EVT de Hausdorff
con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de generalidad† que para todo
es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.
no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que
es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco
Las siguientes son consecuencias del teorema anterior: Supóngase que
es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en
Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff
es una norma en este espacio que convierte a
es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa
, por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua
,[1] y posee una extensión canónica lineal continua única a
, entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar
Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.
según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo