Ecuación de Schröder
La ecuación de Schröder,[1][2][3] nombrada así en honor de Ernst Schröder, es una ecuación funcional con una variable independiente.
La ecuación de Schröder es un problema de autovalores para el operador de composición Ch, el cual devuelve, para una función f(x), otra función f(h(x)).
Si a es un punto fijo de h(x) (es decir, se cumple que
Por tanto, dado que Ψ(a) es finito y Ψ (a) no se anula ni diverge, el autovalor s está dado por s = h' (a).
Para a = 0, si h es analítica en el disco unidad centrado en 0, y 0 < |h′(0)| < 1, Koenigs demostró en 1884 que existe una solución analítica (no trivial) Ψ que satisface la ecuación de Schröder.
Véase por ejemplo: función de Koenigs.
Las ecuaciones del tipo de la de Schröder son útiles para describir la autosimilitud, y han sido extensivamente utilizadas en estudios de dinámica no lineal (coloquialmente teoría del caos).
[4][5] Una ecuación equivalente a la ecuación de Schröder es la fórmula que cumple su inversa respecto a la composición
En la misma línea, dada una solución invertible Ψ(x) de la ecuación de Schröder, la función (no invertible) Ψ(x) k(logΨ(x)) es también solución de la misma ecuación para cualquier función periódica k(x) con periodo log(s).
La ecuación de Schröder fue resuelta analíticamente para todo punto fijo a atractor (pero no superatractor), esto es, si se cumple que 0 < |h'(a)| < 1 por Gabriel Koenigs (1884).
[6][7] En el caso del punto fijo superatractor, |h'(a)| = 0, la ecuación de Schröder es complicada de estudiar, y se ha visto que es mejor transformarla a la ecuación de Böttcher.
El desarrollo en serie en torno a un punto fijo, las propiedades de convergencia pertinentes de la solución para la órbita resultante y sus propiedades analiticidad fueron convincentemente explicadas por Szekeres.
Esta ecuación se ha usado para estudiar sistemas dinámicos discretos mediante la búsqueda de un nuevo sistema de coordenadas en el que el sistema (órbita) generado por h (x) sea más simple, una simple dilatación.
Más específicamente, en un sistema en el cual, en una unidad discreta de tiempo, x se transforma en h (x) (x → h(x)), se puede obtener su órbita (o flujo) suave a partir de la solución no de la ecuación de Schröder, si no de su ecuación conjugada.
En general, esta solución se puede iterar y así se puede obtener una solución (órbita en el lenguaje de sistemas dinámicos) válida para todo tiempo t como:
para t real, no necesariamente positivo o entero.
Esto es, la solución forma un grupo continuo uniparamétrico completo bajo el parámetro t. Véase función iterada.
En[10] se ha obtenido una interpolación continua de la recursividad discreta inicial x → h(x), de hecho, para toda la órbita.
Por ejemplo,[11] algunos casos especiales de la ecuación logística como el caso caótico h(x)=4x(1−x) fueron estudiados ya por Schröder en su artículo original[1] (cf.
