En topología, una rama de las matemáticas, el final (o también extremo) de un espacio topológico es, en términos generales, el conjunto formado por los componentes conectados del límite ideal del espacio.
Es decir, cada extremo representa una forma topológicamente distinta de moverse hacia el infinito dentro del espacio.
Usando esta definición, un entorno de un extremo {Ui} es un conjunto abierto V tal que V ⊇ Un para algunos n, que representan las vecindades del punto correspondiente en el infinito en la compactación final (esta compactación no siempre es compacta; para ello, el espacio topológico X tiene que ser conexo y el espacio localmente conexo).
La definición de extremos dada anteriormente se aplica solo a los espacios X que poseen una exhaustación por conjuntos compactos (es decir, X debe ser hemicompacto).
Sin embargo, se puede generalizar de la siguiente manera: sea X cualquier espacio topológico y considérese el sistema directo {K} de subconjuntos compactos de X y una aplicación inclusiva.
La propiedad de φ se utiliza para garantizar que cada φ−1(K) sea compacto en X.
La definición original anterior representa el caso especial en el que el sistema directo de subconjuntos compactos tiene una secuencia cofinal.
Sin embargo, para gráficos localmente finitos (gráficos en los que cada vértice tiene grado finito), los extremos definidos de esta manera corresponden uno por uno con los extremos de los espacios topológicos definidos a partir del grafo (Diestel y Kühn, 2003).
Esta definición no tiene en cuenta la elección del conjunto generador.
Para una celda compleja conexa, los extremos pueden caracterizarse como la homotopía de las aplicaciones propias
, llamadas radios en X: más precisamente, si entre la restricción —al subconjunto
Este conjunto se llama un extremo de X.