Flujo (matemáticas)
En matemáticas, un flujo formaliza la idea del movimiento de las partículas en un fluido.
Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluida la ingeniería y la física.
Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto.
Los flujos también pueden definirse para sistemas de variables aleatorias y procesos estocásticos, y ocurren en el estudio de sistemas dinámicos ergódicos.
Más explícitamente, un flujo es un mapeo de modo que, para todas las x ∈ X y todos los números reales s y t , Es habitual para escribir φt(x) en lugar de φ(x, t) de manera que las ecuaciones anteriores se pueden expresar como φ0 = Id (función de identidad ) y φs ∘ φt = φs+t (ley grupo ).
Por lo general, se requiere que los flujos sean compatibles con las estructuras proporcionadas en el conjunto X.
En particular, si X está equipada con una topología, generalmente se requiere que φ sea continua.
Es muy común en muchos campos, incluidos la ingeniería, la física y el estudio de ecuaciones diferenciales, usar una notación que hace que el flujo sea implícito.
En el caso de un flujo de un campo vectorial V en una variedad diferenciable X , el flujo a menudo se denota de tal manera que su generador se hace explícito.
Si el flujo es generado por un campo vectorial, entonces sus órbitas son las imágenes de sus curvas integrales.
Sea F: Rn→Rn un campo vectorial (independiente del tiempo) x: R→Rn la solución del problema del valor inicial Entonces φ(x0,t) = x(t) es el flujo del campo vectorial F. Es un flujo local bien definido siempre que el campo vectorial F: Rn → Rn sea continuo de Lipschitz.
En general, puede ser difícil demostrar que el flujo φ está definido globalmente, pero un criterio simple es que el campo vectorial F es compatible de manera compacta.
En el caso de campos vectoriales dependientes del tiempo F: Rn×R→Rn , uno denota φt,t0(x0) = x(t+t0) , donde x: R→Rn es la solución de Entonces φt,t0(x0) es el flujo dependiente del tiempo de F. No es un "flujo" según la definición anterior, pero puede verse fácilmente como uno al reorganizar sus argumentos.
Los flujos de campos vectoriales independientes del tiempo y dependientes del tiempo se definen en variedades lisas exactamente como se definen en el espacio euclidiano ℝn y su comportamiento local es el mismo.
Sin embargo, la estructura topológica global de una variedad uniforme se manifiesta fuertemente en el tipo de campos vectoriales globales que puede soportar, y los flujos de campos vectoriales en variedades suaves son de hecho una herramienta importante en la topología diferencial.
La mayor parte de los estudios en sistemas dinámicos se llevan a cabo en variedades lisas, que se consideran como "espacios de parámetros" en las aplicaciones.
Considere la siguiente ecuación de calor en Ω × (0, T ), para T > 0, con la siguiente condición de límite inicial u(0) = u0 en Ω .
La configuración matemática para este problema puede ser el enfoque de semigrupo.
Para utilizar esta herramienta, presentamos el operador ilimitado ΔD definido en
por su dominio (ver los espacios clásicos de Sobolev con
y es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en Ω para el
, tenemos Con este operador, la ecuación de calor se convierte en
Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es (ver las anotaciones anteriores) donde exp(tΔD) es el semigrupo (analítico) generado por ΔD Nuevamente, sea Ω un subdominio (limitado o no) de ℝ n (con n un número entero).
(para T > 0), con la siguiente condición inicial u(0) = u1,0 in
Escribimos la ecuación de onda como una ecuación diferencial parcial de primer orden en el tiempo mediante la introducción del siguiente operador ilimitado, con dominio
) y Con estas nociones, la ecuación de onda se convierte en
Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es
El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que, para cualquier entropía H dada, existe un flujo φ(x,t) , llamado el flujo de Bernoulli, de modo que el flujo en el tiempo t = 1, es decir , φ(x,1) , es un cambio de Bernoulli.
Además, este flujo es único, hasta una escala de tiempo constante.
Es decir, si ψ(x,t) es otro flujo con la misma entropía, entonces ψ(x,t) = φ(x,t) , para alguna constante c. La noción de singularidad e isomorfismo aquí es la del isomorfismo de los sistemas dinámicos.
