Función de flujo
La función de flujo se define para un flujo incompresible (libre de divergencia) en dos dimensiones - así como en tres dimensiones con axisimetría.
La función de flujo se puede utilizar para trazar streamlines, que representan las trayectorias de las partículas en un flujo constante.
La función de flujo de Lagrange bidimensional fue introducida por Joseph Louis Lagrange en 1781.
[1] La función de flujo de Stokes es para flujo tridimensional axisimétrico, y lleva el nombre de George Gabriel Stokes.
[2] Considerando el caso particular de la dinámica de fluidos, la diferencia entre los valores de la función de corriente en dos puntos cualesquiera da el caudal volumétrico (o flujo volumétrico) a través de una línea que une los dos puntos.
Para el flujo potencial bidimensional, las líneas de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales.
Junto con el potencial de velocidad, la función de flujo puede utilizarse para derivar un complejo potencial.
Lamb y Batchelor definen la función de flujo
al elemento de la curva
En otras palabras, la función de flujo
es simplemente un punto de referencia que define donde la función de flujo es idénticamente cero.
resulta en añadir una constante a la función de flujo
Una forma es definir la función de corriente
para un flujo bidimensional tal que la velocidad de flujo pueda expresarse a través del potencial vectorial.
si el vector velocidad del flujo
En sistema de coordenadas cartesianas esto equivale a Donde
son las componentes de la velocidad del flujo en las direcciones de las coordenadas cartesianas
Otra definición (más utilizada en meteorología y oceanografía que la anterior) es donde
y los subíndices indican derivadas parciales.
Nótese que esta definición tiene el signo contrario a la dada anteriormente (
Consideremos dos puntos A y B en un flujo plano bidimensional.
Si la distancia entre estos dos puntos es muy pequeña: δn, y una corriente de flujo pasa entre estos puntos con una velocidad media, q perpendicular a la línea AB, el caudal volumétrico por unidad de espesor, δΨ viene dado por: Como δn → 0, reordenando esta expresión, obtenemos: Consideremos ahora un flujo plano bidimensional referido a un sistema de coordenadas.
Supongamos que un observador mira a lo largo de un eje arbitrario en la dirección del aumento y ve que el flujo cruza el eje de izquierda a derecha.
Se adopta una convención de signos tal que la velocidad del flujo es positiva.
Observando el flujo en un cuadrado elemental en un sistema de coordenadas cartesianas x-y, tenemos: donde u es la velocidad del flujo paralela al eje x y en su dirección, y v es la velocidad del flujo paralela al eje y y en su dirección.
Así, como δn → 0 y reordenando, tenemos: Consideremos un flujo plano bidimensional dentro de un sistema de coordenadas cartesianas.
La Continuidad establece que si consideramos un flujo incompresible en un cuadrado elemental, el flujo que entra en ese pequeño elemento debe ser igual al flujo que sale de ese elemento.
El flujo total hacia el elemento viene dado por: El flujo total de salida del elemento viene dado por: Así tenemos: y simplificando a: Sustituyendo las expresiones de la función de flujo en esta ecuación, tenemos: La función de corriente puede hallarse a partir de la vorticidad mediante la siguiente ecuación de Poisson: o donde el vector vorticidad
puede ser distinto de cero.
Esto se deduce fácilmente,
