Esto se opone al caso tridimensional, donde el método de Stokes proporciona una solución al problema del flujo alrededor de una esfera.
[3] Dado que el avión puede ser considerado como un plano complejo, el problema puede tratarse usando métodos del análisis de números complejos.
puede ser la parte real o imaginaria de[4] donde
son funciones holomorfas fuera del disco y donde se puede tomar la parte real sin pérdida de generalidad.
A continuación se introduce la función
Esto se calcula para ser igual a Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que el disco es el disco unitario, formado por todos los números complejos z de valor absoluto menor o igual que 1.
Las condiciones de contorno son: siempre que
como Serie de Laurent:[6] la primera condición implica
, y cambiar algunos índices, la segunda condición límite se traduce en: Dado que las funciones trigonométricas complejas
componen un conjunto linealmente independiente, se deduce que todos los coeficientes de la serie son cero.
después de tener en cuenta la condición en el infinito se observa que
es un número imaginario (opuesto a su propio conjugado complejo), y
se obtiene el resultado de que
Por tanto, no puede haber movimiento: la única solución es que el cilindro esté en reposo respecto a todos los puntos del fluido.
[7][2] Se obtuvo una solución correcta para un cilindro utilizando ecuaciones de Oseen, y las mismas ecuaciones conducen a una aproximación mejorada de la fuerza de arrastre en una esfera.
[8][9] Al contrario de la paradoja de Stokes, existe la solución en estado no estacionario del mismo problema que modela un flujo de fluido que se mueve alrededor de un cilindro circular con un número de Reynolds pequeño.
Esta solución puede darse mediante una fórmula explícita en términos de vorticidad del campo vectorial del flujo.
La vorticidad del flujo de Stokes viene dada por la siguiente relación:[10]
son las transformadas especial directa e inversa de Weber,[11] y la función inicial para la vorticidad
satisface la condición de frontera sin deslizamiento.
La transformada especial de Weber tiene un núcleo no trivial, pero de la condición de no deslizamiento se sigue la ortogonalidad del flujo de vorticidad con respecto al núcleo.
tiene un núcleo no trivial[13][10] que consiste en las funciones
La transformada inversa viene dada por la fórmula
Debido a la no trivialidad del núcleo, la identidad de inversión
pero sólo para funciones, que son ortogonales al núcleo de
En el exterior del disco de radio
la Ley de Biot y Savart
con circulación nula y velocidad constante dada
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{r_{0}}^{\infty }r^{-\vert k\vert +1}w_{k}(t,r)dr=0.}
Entonces la solución del problema de valor límite puede expresarse mediante la integral de Weber anterior.