es una onda longitudinal si la velocidad es irrotacional y, por tanto, el término viscoso desaparece.
es idéntica a cero y el campo de velocidad es solenoidal.
[3] La división es única si están especificadas las condiciones en el infinito (digamos que
) Para ciertos flujos de Oseen, es posible dividir aún más la onda transversal en componente irrotacional y rotacional
La solución fundamental debido a una fuerza puntual singular incrustada en un flujo de Oseen es el Oseenlet.
Las soluciones fundamentales de forma cerrada para los flujos inestables generalizados de Stokes y Oseen asociados con movimientos de traslación y rotación arbitrarios dependientes del tiempo se han derivado para los fluidos newtonianos[4] y fluidos micropolares.
[1] Además, Lamb derivó, por primera vez, una solución para el flujo viscoso alrededor de un cilindro circular.
cuando no hay límites externos presentes se escribe como Si
es el vector dado, que da la dirección de la fuerza singular, entonces en ausencia de fronteras, la velocidad y la presión se deriva del tensor fundamental
es una función arbitraria del espacio, la solución para un dominio no limitado es donde
Entonces el tensor fundamental y el vector son donde Oseen consideró que la esfera estaba estacionaria y que el fluido fluía con una velocidad de flujo (
[6] Es una solución límite cuando el número de Reynolds tiende a cero.
Cuando el número de Reynolds es pequeño y finito, como 0,1, es necesario corregir el término inercial.
y la divergencia del vector de vorticidad es siempre cero obtenemos: la función
Esto es ciertamente antifísico y se conoce como paradoja de Stokes.
Considérese el caso de una esfera sólida que se mueve en un líquido estacionario con una velocidad constante.
El líquido se modela como un fluido incompresible, es decir, con densidad constante, y ser estacionario significa que su velocidad tiende a cero a medida que la distancia desde la esfera se acerca al infinito.
Para un cuerpo real habrá un efecto transitorio debido a su aceleración cuando comienza su movimiento; sin embargo, después de un tiempo suficiente, tenderá a cero, por lo que la velocidad del fluido en todas partes se acercará a la obtenida en el caso hipotético en el que el cuerpo ya se está moviendo por un tiempo infinito.
Se tiene: Dado que estas condiciones de contorno, así como la ecuación de movimientos, son invariantes en el tiempo (es decir, no cambian al desplazar el tiempo
, la solución depende del tiempo sólo a través de estas coordenadas.
En adelante omitiremos el subíndice m. La aproximación de Oseen se resume en despreciar el término no lineal en
Así, las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles se convierten en: para un fluido que tiene densidad ρ y Viscosidad cinemática ν = μ/ρ (μ es la Viscosidad dinámica).
Debido a la Ecuación de continuidad para un fluido incompresible
y su magnitud es equivalente a la función de flujo utilizada en problemas bidimensionales.
es el número de Reynolds para el flujo cercano a la esfera.
.es el ángulo polar originado desde el lado opuesto al punto de estancamiento frontal (
Además, la velocidad se deriva tomando el rizo de
Obtuvieron: El método y la formulación para el análisis del flujo a un número de Reynolds muy bajo es importante.
El movimiento lento de pequeñas partículas en un fluido es común en bioingeniería.
A estos pequeños números de Reynolds y Womersley, los efectos viscosos del fluido se vuelven predominantes.