En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto, de operadores lineales acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme según una norma operativa.
El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero Hans Hahn también lo demostró de forma independiente.
sobre la bola cerrada unidad) puede reemplazarse por una igualdad propia (que tiene un rango
es un conjunto cerrado y, según el supuesto, Por el teorema de categorías de Baire para un espacio métrico completo no vacío
, entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado
en la norma del operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados.
un límite superior uniforme de las normas del operador.
, se recubre finitamente (recurriendo a su compacidad)
En consecuencia, por la desigualdad triangular, se tiene que para todo
una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada
Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en
su serie de Fourier está definida por y la N-ésima suma parcial simétrica es donde
Por lo tanto, según el principio de acotación uniforme, para cualquier
, el término "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann.
está acotado (según von Neumann) si y solo si es una norma acotada, que por definición significa que
Es decir, el escenario menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barrilado, en el que se cumple la siguiente versión generalizada del teorema (Bourbaki, 1987, Theorem III.2.1): Dado un espacio barrilado
, cualquier familia de operadores lineales continuos acotados puntualmente desde
un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos,
si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Aunque la noción de un conjunto no exiguo se utiliza en la siguiente versión del principio acotado uniforme, se supone que el dominio
un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos,
(no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos).
es de segunda categoría (es decir, no exiguo) en
[3] Entonces, en particular, cada subespacio vectorial propio que está cerrado no es denso en ninguna parte en
que sea de segunda categoría (no exiguo) en
, lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos
El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de aplicaciones lineales continuas sea en sí mismo continuo.
es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicos,
es una secuencia de aplicaciones lineales continuas desde un espacio F
a un espacio vectorial topológico de Hausdorff
un conjunto de operadores lineales continuos desde un espacio vectorial topológico metrizable completo