En matemáticas, la simetrización es un proceso que convierte cualquier función en
De manera similar, la antisimetrización convierte cualquier función en
[1] De manera similar, la antisimetrización o simetrización oblicua de una aplicación
Por lo tanto, como el número 2 es invertible en los números reales, se puede dividir por 2 y expresar cada función como la suma de una función simétrica y de una función antisimétrica.
La simetrización de una aplicación simétrica es su doble, mientras que la simetrización de una función antisimétrica es cero.
De manera similar, la antisimetrización de una aplicación simétrica es cero, mientras que la antisimetrización de un aplicación antisimétrica es su doble.
La simetrización y antisimetrización de un operador bilineal son bilineales.
Por lo tanto, más allá del orden 2, cada forma bilineal es una suma de una forma simétrica y de una forma antisimétrica, y no hay diferencia entre una forma simétrica y una forma cuadrática.
Con respecto al caso del orden 2, no todas las formas se pueden descomponer en una forma simétrica y en una forma antisimétrica.
Por ejemplo, sobre los números enteros, la forma simétrica asociada (sobre los números racionales) puede tomar valores semienteros, mientras que sobre
una función es antisimétrica si y solo si es simétrica (es decir, si
Esto lleva a la noción de formas ε-cuadráticas y de formas ε-simétricas.
), este corresponde a la transformada de Fourier discreta de orden dos.
De manera más general, dada una función en
variables, se puede simetrizar tomando la suma de todas las permutaciones
permutaciones pares y restando la suma de todas
por lo que la única permutación es par).
es invertible, como cuando se trabaja sobre un cuerpo de característica
En términos de la teoría de la representación, estas solo producen las subrepresentaciones correspondientes a la representación trivial y de signos, pero para
hay otras (véase teoría de la representación del grupo simétrico y polinomio simétrico).
variables, se puede obtener una función simétrica en
elementos del conjunto de las variables.
En estadística, esto se denomina bootstrapping y las estadísticas asociadas se denominan U-estadísticas.