Teorema de Wantzel

Hoy se expresa de la siguiente manera:[2]​ El número real a es construible si y solo si existe una secuencia finita de cuerpos Li tal que: Wantzel deduce de su teorema una condición necesaria para que un número a sea construible: Esta condición necesaria permite (por su contraposición) demostrar que la duplicación del cubo y la trisección del ángulo no son resolubles con regla y compás.

El planteamiento es entonces el siguiente: si K es un cuerpo de números construibles (por ejemplo ℚ), se considera, en el plano, el conjunto EK de todos los puntos cuyas coordenadas pertenecen a K. ¿Cuáles son los puntos que se pueden construir con una regla y un compás en un paso desde los puntos de EK?

Dos líneas rectas (AB) y (CD) cuyos puntos A, B, C, D están en EK tienen como ecuación Encontrar las coordenadas (x, y) del punto de intersección I de estas dos líneas rectas equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales en K. Los reales x e y son elementos de K. El punto I pertenece a EK.

Si el punto de intersección existe, o esta ecuación tiene soluciones en K, o esta ecuación es irreducible en K pero tiene soluciones en la extensión cuadrática L = K(X) / P. Entonces, todos los números reales de L también son construibles, porque existe a + bx, donde a y b están en K y x es solución de P(x) = 0.

En los párrafos anteriores, se muestra que, para un paso, o las coordenadas permanecen en el campo K de números de origen construibles, o bien saltan a una extensión cuadrática del mismo.

Por el contrario, si existe una secuencia de subcuerpos reales L0, ..., Ln que satisfacen las condiciones del teorema, entonces se demuestra por inducción sobre i que Li, 0 ≤ i ≤ n, es un cuerpo de números construibles.

Este corolario permite resolver varios problemas clásicos de la matemática griega, comprobando su imposibilidad.

Duplicar el cubo con una regla y un compás equivale a demostrar que el número

Se concluye entonces que la duplicación del cubo con regla y compás no es factible.

Sin embargo, Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró en 1882 que π es un número trascendente.

Efectivamente, realizar la trisección del ángulo equivale a construir, desde el punto de coordenadas el punto de coordenadas Usando la fórmula trigonométrica se ve que cos(q) debe ser la solución de la ecuación: Por tanto, la trisección del ángulo es factible si y solo si el polinomio 4X3 – 3X – a es reducible en

[1]​ Es este enunciado recíproco el que demuestra Wantzel: Por ejemplo, los polígonos regulares con 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 o 21 lados no son construibles.

Siempre se puede trabajar sobre el círculo de radio unidad, y por lo tanto, esto es equivalente a que el número cos(2π/n) sea construible, siendo entonces construible la segunda coordenada del punto en el círculo unitario porque sin(2π/n) = √1 – cos2(2π/n).

Por lo tanto, al usar la factorización de enteros se vuelve a que[5]​ Sea p un número primo impar, k un número natural distinto de cero y q = pk tal que el polígono regular con q lados sea construible.

Sin embargo, el complejo ei2π/q = cos(2π/q) + i sin(2π/q) es una raíz primitiva q-ésima de la unidad.

Incluso se podría volver sobre los polinomios ciclotómicos con índices pk, con p primo, para k = 1 o k = 2, ya que si un polígono con n lados es construible, un polígono cuyo número de lados es un divisor de n es inmediatamente construible.