Teorema de Gauss-Wantzel

En geometría, el teorema de Gauss-Wantzel establece un equivalencia lógica para determinar si un polígono regular es construible con regla y compás.

(se dice que un número primo es de Fermat si tiene la forma 2(2k)+1 para un determinado entero k).

Gauss había establecido esta condición necesaria y suficiente en el capítulo VII de su obra Disquisitiones arithmeticae[1]​ (publicada en 1801), pero solo había demostrado una implicación: Pierre Wantzel lo demostraría en 1837 gracias a su teorema y a la condición necesaria que dedujo para que un número sea construible.

Surgen dos casos: o p es igual a 2 y cualquier valor de α es aceptable, o p es un número primo de la forma 2k+1 con k un entero estrictamente positivo y α es igual a 1.

Con una similitud directa con respecto al plano euclídeo, los vértices del pentágono regular son exactamente las cinco quintas raíces complejas de la unidad.

Por identificación, son, además de 1, las raíces del quinto polinomio ciclotómico, y por lo tanto, del polinomio: Como la ecuación correspondiente es de grado 4, se puede resolver con unos cálculos relativamente sencillos.

Se determinan los elementos de ℚ(ζ5) invariantes respecto a la conjugación compleja m2.

Además, su suma u + v y su producto uv son invariantes respecto a m y por lo tanto respecto al grupo de Galois; en consecuencia, se espera que sean racionales.

Se comprueba que u y v verifican la ecuación P (X) = 0, donde: Estas fórmulas podrían haber sido demostradas observando que z4 es el conjugado de z. Lo mismo ocurre con z2 y z3.

Si la lógica anterior se aplica con el mismo éxito, los cálculos son, sin embargo, más complejos.

Como resultado, este caso no pudo ser tratado hasta que se tuvo una comprensión profunda de los polinomios ciclotómicos.

Efectuando el cálculo, se obtiene: El siguiente paso no requiere la determinación de m porque se establece que este aplicación es el conjugado, con una raíz de exponente i, por lo tanto asocia la raíz del exponente 17-i.

Se sabe por construcción que este coeficiente es igual a la suma de la primera raíz primitiva y su conjugado.