Triángulo hiperbólico

Consta de tres segmentos llamados lados o aristas y de tres puntos llamados vértices o esquinas.

Al igual que en el caso del espacio euclídeo, siempre existe un plano que pase por tres puntos cualesquiera de un espacio hiperbólico de dimensión arbitraria.

Si un par de lados son paralelos límite (es decir, la distancia entre ellos tiende a cero cuando tienden al punto ideal, pero no se intersecan), entonces terminan en un vértice ideal denominado punto omega.

Un triángulo con un ángulo cero es imposible en geometría euclidiana para lados rectos que se encuentran en líneas distintas.

Sin embargo, tales ángulos cero son posibles con círculos tangentes.

El triángulo donde dos vértices son puntos ideales y el ángulo restante es recto, uno de los primeros triángulos hiperbólicos (1818) descritos por Ferdinand Karl Schweikart.

Las relaciones entre los ángulos y los lados son análogas a las de la trigonometría esférica.

El área de un triángulo hiperbólico es igual a su defecto multiplicado por el cuadrado de R: Este teorema, probado por primera vez por Johann Heinrich Lambert,[3]​ está relacionado con la trigonometría esférica en geometría esférica.

En todas las fórmulas indicadas a continuación, los lados a, b y c deben medirse en longitud absoluta, una unidad para la que la curvatura de Gauss K del plano sea −1.

En otras palabras, se supone que la cantidad R en el párrafo anterior es igual a 1.

Si C es un ángulo recto entonces: También se dan las siguientes ecuaciones:[5]​ El área de un triángulo rectángulo es: y además La instancia de un triángulo omega con un ángulo recto proporciona la configuración para examinar el ángulo de paralelismo en el triángulo.

Las relaciones son: Ya sea que "C" sea un ángulo recto o no, se cumplen las siguientes relaciones: El teorema del coseno es el siguiente: Su teorema dual es También hay una "ley de los senos": y una fórmula de cuatro partes: que se deduce de la misma forma que en el caso de la trigonometría esférica.