En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico (EVT) metrizable (o en su caso, pseudometrizable) es un EVT cuya topología es inducida por una métrica (o en su caso alternativo, por una pseudométrica).
Esto se debe a que, a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial
Por ejemplo, una topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no hace que la multiplicación escalar sea continua.
sobre valores reales con las siguientes propiedades:[2] donde se denomina G-seminorma a una g-norma si satisface la condición adicional: Si
un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir,
Esta circunstancia es debida a que la multiplicación escalar no es continua en
Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante a la traslación no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que lleva a definir paranormas y seminormas F. Una colección
El siguiente teorema es cierto de manera más general para los grupos topológicos aditivos conmutativos.
forma una base equilibrada de entornos del origen, entonces se puede demostrar que para cualquier
se extiende sobre los números reales positivos, forman una base de entorno en el origen para esta topología que consiste en un conjunto cerrado.
es una colección no vacía de seminormas F en un espacio vectorial
que también forma una base de entorno en el origen para una topología vectorial en
es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial
se define como la aplicación de valor real Supóngase que
es una familia de seminormas F no negativa en un espacio vectorial
es una secuencia de números reales positivos cuya suma es finita.
Entonces define una seminorma F acotada que es uniformemente equivalente a
es un espacio vectorial topológico, entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes:[17][nota 1] Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que hay un equivalent metric que es invariante en la traslación.
[26] Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene un entorno acotado convexo del origen.
En consecuencia, cualquier EVT metrizable que sea normable no debe ser de dimensión infinita.
es un EVT localmente convexo metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonces
son necesariamente espacios reticulados ultrabornológicos distinguidos completos de Hausdorff y, además,
[14] Teorema[29]Todos los EVT metrizables completos separables de dimensión infinita son homeomorfismos.
El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes: TeoremaSi
es un EVT pseudometrizable cuya topología es inducida por una pseudométrica invariante a la traslación
Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y solo si es cósmico.
converge incondicionalmente en el sentido habitual (que para números reales, es equivalente a convergencia absoluta).
[demo 1] En otras palabras, todos menos un número contable de
[14] Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier EVT pseudometrizable de dimensión infinita.
tiene una dimensión incontable y si se dota con la mejor topología vectorial, entonces este es un EVT con PEHB que no es localmente convexo ni metrizable.