En el campo matemático de la topología general, un conjunto exiguo (también llamado conjunto escaso o conjunto de primera categoría) es un subconjunto de un espacio topológico que es pequeño o negligible en el sentido preciso que se detalla a continuación.
Consúltense a continuación las definiciones de otros términos relacionados.
cuya clausura tiene un interior vacío (consúltese el artículo correspondiente para más detalles).
[1] En caso contrario, el subconjunto se llama no exiguo en
(este uso del prefijo "co" es consistente con su uso en otros términos como "cofinito").
si y solo si es igual a una intersección numerable de conjuntos, cada uno de cuyos interiores es denso en
Como punto adicional de terminología, si a un subconjunto
se le da la topología traza inducida a partir de
, se puede hablar de que es un espacio exiguo, es decir, un subconjunto exiguo de sí mismo (cuando se lo considera como un espacio topológico propiamente dicho).
, lo que significa un espacio exiguo cuando se le da la topología del subespacio.
(consúltense las secciones Propiedades y Ejemplos a continuación para conocer la relación entre los dos).
Sin embargo, debe tenerse en cuenta que en el contexto de un espacio vectorial topológico algunos autores pueden usar la frase "subespacio exiguo/no exiguo" para referirse a un subespacio vectorial que es un conjunto exiguo/no exiguo en relación con todo el espacio.
[3] La denominación empleada en inglés, meagre ("pobre", "exiguo" o "escaso" en francés), fue introducida por Bourbaki en 1948.
En particular, según el teorema de categorías de Baire, cada espacio métrico completo no vacío y cada espacio localmente compacto de Hausdorff no vacío no es exiguo.
[10] Todo subconjunto denso en ninguna parte es un conjunto exiguo.
tiene la topología del subespacio inducida a partir de
Sin embargo, se cumplen los siguientes resultados:[5] Y correspondientemente para conjuntos no exiguos: En particular, cada subconjunto de
En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado con interior vacío es exiguo.
[13] (porque de lo contrario, no sería denso en ninguna parte y, por lo tanto, sería de primera categoría).
Existen subconjuntos densos en ninguna parte (que, por lo tanto, son subconjuntos exiguos) que tengan medida de Lebesgue positiva.
, los conjuntos grusos de Cantor, como el conjunto de Smith-Volterra-Cantor, no son densos en ningún lugar cerrado y pueden construirse con una medida arbitrariamente cercana a
[14] Dualmente, pueden existir conjuntos no exiguos con medida cero.
A continuación figura otro ejemplo de un conjunto no exiguo en
Así como un subconjunto no denso en ningún lugar no necesita ser cerrado, sino que siempre está contenido en un subconjunto cerrado denso en ningún lugar (es decir, su cierre), un conjunto exiguo no necesita ser un conjunto
formado a partir de conjuntos densos en ninguna parte (tomando el cierre de cada conjunto).
Los conjuntos exiguos tienen una caracterización alternativa útil en términos del juego de Banach-Mazur.
que tienen interiores no vacíos de modo que cada conjunto abierto no vacío tenga un subconjunto perteneciente a
Y a continuación, se considera el juego de Banach-Mazur
, eligen alternativamente elementos sucesivamente más pequeños de
gana si la intersección de esta secuencia contiene un punto en