Función suave no analítica
En matemáticas, una función suave no analítica es aquella que es infinitamente diferenciable, pero que no puede expresarse como una serie de potencias convergente.
En términos de haces, esta diferencia se traduce en que el haz de funciones diferenciables en una variedad diferenciable es fino, en contraste con el caso analítico.
Se puede demostrar fácilmente que cualquier función analítica de argumento real es suave, aunque la relación inversa no es cierta, como se demuestra con el contraejemplo que figura más adelante.
Las funciones siguientes se utilizan generalmente para construir particiones de la unidad en variedades diferenciables.
Considérese la función definida para cada número real x.
La fórmula para estas derivadas es donde pn(x) es un polinomio de grado n − 1, generado recursivamente por p1(x) = ;1 y para cualquier número entero n positivo.
A partir de esta fórmula, no queda completamente claro que las derivadas sean continuas en 0, lo que se desprende del límite unilateral para cualquier número entero no negativo m. dado que se suman todos los términos positivos para
y tomando el límite por arriba, Ahora se demuestra la fórmula para la nésima derivada de f mediante inducción matemática.
Usando la regla de la cadena, la regla del recíproco y el hecho de que la derivada de la función exponencial es nuevamente la función exponencial, se comprueba que la fórmula es correcta para la primera derivada de f para todo x > 0 y que p1(x) es un polinomio de grado 0.
Por supuesto, la derivada de f es cero para x < 0.
Queda por demostrar que la derivada del lado derecho de f en x= 0 es cero.
Por supuesto, la (n + 1)st derivada de f es cero para x < 0.
La derivada del lado derecho de f (n) en x = 0 se obtiene con el límite anterior Como se vio anteriormente, la función f es suave y todas sus derivadas en el origen son 0.
Por lo tanto, la serie de Taylor de f en el origen converge en todas partes a cero, y entonces la serie de Taylor no es igual a f(x) para x > 0.
La función tiene un denominador estrictamente positivo en todas partes de la recta real, por lo que g también es suave.
Para disponer de una transición suave en el intervalo real [a, b] con a < b, considérese la función Para números reales a < b < c < d, la función suave es igual a 1 en el intervalo cerrado [b, c] y desaparece fuera del intervalo abierto (a, d), por lo que puede emplearse como función bulto.
Un ejemplo más patológico es una función infinitamente diferenciable que no es analítica en ningún punto.
no es analítica en ningún múltiplo racional diádico de π, es decir, en cualquier
, y se limita la primera suma desde abajo por el término con
de números reales o complejos, la siguiente construcción muestra la existencia de una función suave F en la recta real que tiene estos números como derivadas en el origen.
Con la anterior función de transición suave g, se define Esta función h también es suave, igual a 1 en el intervalo cerrado [−1,1] y desaparece fuera del intervalo abierto (−2,2).
Usando h, se define para cada número natural n (incluido el cero) la función suave que concuerda con el monomio xn en [−1,1] y desaparece fuera del intervalo (−2,2).
Por lo tanto, la k-ésima derivada de ψn en el origen satisface que y el teorema de Weierstrass implica que ψn y cada derivada de ψn están acotadas.
Por lo tanto, las constantes que involucran la norma del supremo de ψn y sus primeras n derivadas, son números reales bien definidos.
Ahora, se definen las funciones escaladas Mediante la aplicación repetida del regla de la cadena, y, usando el resultado anterior para la k-ésima derivada de ψn en cero, Queda por demostrar que la función está bien definida y se puede diferenciar término por término infinitas veces.
[2] Para ello, basta observar que por cada k donde la serie infinita restante converge por el criterio del cociente.
Para cada radio r > 0, con la norma euclídea ||x|| define una función suave en el espacio euclídeo n-dimensional con soporte en la bola de radio r, pero
Esta patología no puede ocurrir con funciones de una variable compleja diferenciables en lugar de una variable real.
Téngase en cuenta que aunque la función f tiene derivadas de todos los órdenes sobre la recta real, la extensión analítica de f desde la semi recta positiva x > 0 al plano complejo, que es la función tiene una singularidad esencial en el origen y, por lo tanto, ni siquiera es continua, y mucho menos analítica.
Por el teorema de Picard, alcanza cada valor complejo (con la excepción de cero) infinitas veces en cada vecindad del origen.
