Morfología matemática
La morfología matemática es comúnmente aplicada más a las imágenes digitales, pero puede ser empleada también en gráficos, mallas poligonales, sólidos y muchas otras estructuras espaciales.
La morfología matemática se desarrolló originalmente para imágenes binarias y se extendió más tarde a funciones e imágenes en escala de grises.
La generalización posterior a retículos completos es ampliamente aceptada hoy en día como fundamento teórico de la morfología matemática.
La mayor parte del trabajo en ese período se desarrolló en Fontainebleau.
En las décadas de los años 1980 y 1990, la morfología matemática ganó un amplio reconocimiento ya que centros de investigación en varios países comenzaron a adoptar e investigar el método.
En 1986 Jean Serra generalizó aún más la morfología matemática, esta vez con un marco teórico basado en retículos completos.
Esta generalización trajo flexibilidad a la teoría, permitiendo su aplicación a un número mucho mayor de estructuras, incluyendo imágenes en color, vídeo, gráficos, meshes, etc. Al mismo tiempo, Matheron y Serra también formularon una teoría para filtrado morfológico basado en el nuevo marco (retículos).
En 1993, el primer International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM) tuvo lugar en Barcelona, España.
Desde entonces, los ISMM se organizan cada 2 o 3 años, casi siempre en una parte diferente del mundo: Fontainebleau, Francia (1994); Atlanta, Estados Unidos (1996); Ámsterdam, Países Bajos (1998); Palo Alto, California, Estados Unidos (2000); Sídney, Australia (2002); París, Francia (2004); Río de Janeiro, Brasil (2007); Groninga, Países Bajos (2009); e Intra (Verbania), Italia (2011); Uppsala, Sweden (2013); Reykjavik, Iceland (2015); y Fontainebleau, Francia (2017).
En morfología binaria una imagen es vista como un subconjunto de un espacio Euclideo
Esta simple "sonda" se llama elemento estructurante, y es en sí misma una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o de la cuadrícula).
La erosión de la imagen binaria A por el elemento estructurante B está definida por: donde Bz es la traslación de B por el vector z, esto es,
La erosión de A por B también está dada por la expresión:
Las figuras que están trazadas muy tenuemente engruesan cuando son "dilatadas".
La apertura esencialmente elimina las pequeñas "rayitas" exteriores derramadas y restaura el texto.
, donde Xc denota el complemento de X respecto a E (esto es,
Aquí están algunas propiedades de los operadores morfológicos binarios básicos (dilatación, erosión, apertura y cierre): En morfología en escala de grises, las imágenes son funciones que mapean un espacio euclidiano o cuadrícula E en
es un elemento más grande que cualquier número real, y
es un elemento más pequeño que cualquier número real.
Denotando una imagen por f (x) y la función estructurante por b(x), la dilatación en escala de grises de f por b está dada por donde "sup" denota el supremo.
Del mismo modo, la erosión de f por b viene dada por donde "inf" denota el ínfimo.
Al igual que en la morfología binaria, la apertura y el cierre se dan, respectivamente, por Es común el uso de elementos estructurantes planos en las aplicaciones morfológicas.
Procesamiento morfológico en niveles de grises Las operaciones de erosión y dilatación son crecientes, respectan el orden presente en la estructura del conjunto.
Cada conjunto es la intersección entre el umbral de la función y un plano horizontal.
https://web.archive.org/web/20160305065324/http://www.elai.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/MIP_VisionArtificial/ApuntesVA/cap6VAProcMorf.pdf Los retículos completos son conjuntos parcialmente ordenados, donde cada subconjunto tiene un ínfimo y un supremo.
que se distribuye sobre el supremo y preserva el elemento menor.
que se distribuye sobre el ínfimo y preserva el universo.
Es decir: Las dilataciones y erosiones forman conexiones de Galois.
Del mismo modo, para toda erosión existe una y sólo una dilatación que satisface la conexión anterior.
Esto es, si f y g son funciones en L, entonces
