En teoría de números, un número primo largo, (o también primo repetitivo completo, o primo propio)[1]: 166 en base b, es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat (donde p no divide a b) genera un número cíclico.
repite infinitamente los dígitos del número cíclico correspondiente, al igual que
con la rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y p − 1.
módulo p. El término primo largo fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su "Libro de los Números".
De hecho, en base b, si un primo largo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., b − 1 aparece en la repetición el mismo número de veces que los demás dígitos, pero tal número primo no existe cuando b = 12, ya que cada número primo completo en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base.
Generalmente, no existe tal número primo cuando b es congruente a 0 o 1 módulo 4.
Los valores de p menores a 1000 para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en expresión decimal son: Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857; por lo tanto, 7 es un número primo largo.
Mediante aritmética modular avanzada se puede demostrar que cualquier número primo de las siguientes formas: nunca puede ser un primo largo en base 10.
Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos largos es mucho mayor.
La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante los tests diehard.
[3] En estas aplicaciones, generalmente se utilizan decimales periódicos en base 2, lo que da lugar a secuencias binarias.
También se ha analizado la secuencia binaria de longitud máxima para
El periodo binario de cada n-ésimo primo es El nivel del período binario de cada n-ésimo primo es Sin embargo, estudios numéricos demuestran que las tres cuartas partes de los números primos de la forma 8k + n, donde n ∈ {3, 5} son números primos largos en base 2 (por ejemplo, hay 87 números primos por debajo de 1000 congruentes con 3 o 5 módulo 8, y 67 de ellos son números primos largos en base 2, lo que supone un total del 77 %).
Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos largos es mucho mayor.
En base 10, los números primos largos de nivel n más pequeños son En base 2, los números primos largos de nivel n más pequeños son Artin también conjeturó que: Los primos largos más pequeños en base n son: