[1] En mecánica cuántica, los observables físicos que son escalares, vectores y tensores deben representarse mediante operadores escalares, vectoriales y tensoriales, respectivamente.
Por esto último en particular, se hace referencia a un operador cuyos valores esperados en los estados inicial y rotado son
La energía cinética, por otro lado, debe representarse mediante un operador escalar, cuyo valor esperado debe ser el mismo en el estado inicial y en el estado rotado.
(observación: el momento angular es un vector en lo que respecta a las rotaciones, pero a diferencia de la posición o el impulso, no cambia de signo bajo la inversión espacial, y cuando se desea manejar esta propiedad, se dice que es un seudovector).
, es un operador escalar que ocupa un lugar destacado en las discusiones sobre la interacción espín-órbita.
es invariante bajo una transformación unitaria U si en este caso para la rotación
, donde j es el número cuántico del momento angular total y m es el número cuántico del momento angular magnético, que toma valores −j, −' 'j + 1, ..., j − 1, j. Un estado general dentro del subespacio j rota a un nuevo estado según: Usando la condición de completitud: se obtiene Presentando los elementos de la matriz D de Wigner: da la multiplicación de matrices: Para una base: Para el caso del momento angular orbital, los estados propios
del momento angular orbital L y las soluciones de la ecuación de Laplace en una esfera 3d son armónicos esféricos: donde Pℓm es un polinomio asociado de Legendre, ℓ es el número cuántico del momento angular orbital y m es el número cuántico magnético orbital que toma los valores −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ El formalismo de los armónicos esféricos tiene amplias aplicaciones en matemáticas aplicadas y está estrechamente relacionado con el formalismo de los tensores esféricos, como se muestra a continuación.
Los armónicos esféricos son funciones de los ángulos polar y azimutal, ϕ y θ respectivamente, que se pueden recopilar convenientemente en un vector unitario n(θ, ϕ ) apuntando en la dirección de esos ángulos, en base cartesiana es: Por tanto, un armónico esférico también se puede escribir
Dado que |Ψ⟩ es cualquier estado cuántico, se obtiene el mismo resultado: Debe tenerse en cuenta que aquí, el término vector se usa de dos maneras diferentes: como |ψ⟩ son elementos de espacios abstractos de Hilbert, mientras que el operador vectorial se define como una cantidad cuyas componentes se transforman de cierta manera bajo rotaciones.
Dado que se puede demostrar que los operadores forman un operador vectorial mediante su relación de conmutación con los componentes del momento angular (que son generadores de rotación), sus ejemplos incluyen: y los operadores seudovectoriales incluyen: Si
Un operador vectorial en una base esférica es V = (V+1, V0, V−1), donde las componentes son:[2] usando
En la discusión posterior sobre los operadores tensoriales, la notación de índice relativa al comportamiento covariante/contravariante se ignora por completo.
Por lo tanto, el operador tensor descrito forma un tensor de rango 2, en representación tensorial: De manera similar, un operador tensorial n veces contravariante se puede formar de manera similar mediante n operadores vectoriales.
Se observa que el subespacio abarcado por combinaciones lineales de los componentes tensoriales de rango dos forma un subespacio invariante, es decir, el subespacio no cambia bajo la rotación, ya que los componentes transformados en sí son una combinación lineal de los componentes tensoriales.
El conjunto de seis componentes simétricos independientes se puede dividir en cinco componentes simétricas independientes sin traza y la traza invariante puede ser su propio subespacio.
formados están representados por:[4] De los ejemplos anteriores, las nueve componentes
se dividen en subespacios formados por uno, tres y cinco componentes.
Es posible que en un tensor dado uno o más de estas componentes desaparezcan.
se transforma como un vector debido a su relación de conmutación.
En la siguiente sección, se discutirá la construcción de tensores esféricos.
Por ejemplo, dado que se muestran ejemplos de operadores vectoriales esféricos, se pueden utilizar para construir operadores tensoriales esféricos de orden superior.
O continuando con el ejemplo anterior del tensor diádico de segundo orden T = a ⊗ b, al convertir cada uno de a y b en la base esférica y sustituirlos en T se obtienen los operadores tensoriales esféricos de segundo orden.
Tiene casi exactamente la misma forma que la base esférica, aparte de los factores multiplicativos constantes.
Estos niveles son degenerados, ya que la energía no depende del número cuántico magnético m o m′.
Las funciones de onda tienen la forma El operador dipolo es proporcional al operador de posición del electrón, por lo que se deben evaluar elementos matriciales de la forma donde el estado inicial está a la derecha y el final a la izquierda.
En realidad, esto es una sobrevaloración, como se verá, porque muchos de los elementos de la matriz desaparecen, pero todavía quedan muchos otros que no desaparecen al realizar los cálculos.
Se puede lograr una gran simplificación expresando las componentes de r, no con respecto a la base cartesiana, sino con respecto a la base esférica.
Esta ecuación revela una relación entre los operadores vectoriales y el valor del momento angular ℓ = 1, algo sobre lo que se muestran más consideraciones continuación.
El formalismo tensorial esférico proporciona una plataforma común para tratar la coherencia y la relajación en el campo de la resonancia magnética nuclear.