La siguiente es una lista de fórmulas importantes que involucran la constante matemática π (pi).
Muchas de estas fórmulas se pueden encontrar en el artículo principal sobre el número π. donde C es la circunferencia del círculo, d es el diámetro y r es el radio.
Más generalmente: donde A es el área del círculo.
Más generalmente, donde L y w son, respectivamente, el perímetro y el ancho de cualquier curva de ancho constante.
donde A es el área demarcada por una elipse con semieje mayor a y semieje menor b. donde C es la circunferencia de una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y
son las iteraciones aritméticas y geométricas de
, la media aritmético-geométrica de a y b con los valores iniciales
donde A es el área entre la bruja de Agnesi y su recta asintótica; r es el radio del círculo que lo define.
donde A es el área de un squircle con radio menor r y
donde A es el área de una epicicloide con el círculo más pequeño de radio r y el círculo más grande de radio kr (
), asumiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande.
donde A es el área de una rosa con frecuencia angular k (
) y amplitud a. donde L es el perímetro de la lemniscata de Bernoulli con distancia focal c. donde V es el volumen de una esfera y r es el radio.
donde H es el hipervolumen de la triple esfera y r es el radio.
Suma S de los ángulos internos de un polígono regular convexo de n lados: Área A de un polígono regular convexo con n lados y lados de longitud s: Radio inscrito r de un polígono regular convexo con n lados y lados de longitud s : Circunradio R de un polígono regular convexo con n lados y lados de longitud s: Un problema que involucra "bolas de billar que chocan": es el número de colisiones realizadas (en condiciones ideales, con elasticidad perfecta y sin fricción) por un objeto de masa m inicialmente en reposo entre una pared fija y otro objeto de masa b 2 N m, cuando es golpeado por el otro objeto.
[1] (Esto da los dígitos de π en base b hasta N dígitos después del punto de base).
Nótese que los integrandos simétricos
también se pueden traducir a la forma
Las siguientes fórmulas son eficientes para calcular dígitos binarios arbitrarios de π: Serie de Plouffe para calcular dígitos decimales arbitrarios de π: [5] En general, donde
[8] Las dos últimas fórmulas son casos especiales de que generan infinitas fórmulas análogas para
Algunas fórmulas que relacionan π y números armónicos se pueden ver aquí.
Otras series infinitas que contienen a π son: [14] donde
es el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente.
es el k-ésimo número de Fibonacci.
son números reales positivos (see Identidades trigonométricas).
Un caso especial es: Las siguientes equivalencias son verdaderas para cualquier número complejo
: Además Suponemos que una red
Definimos los quasi-periodos de esta red con
es la función zeta de Weierstrass (
Entonces los periodos y quasi-periodos son relacionados con la identidad de Legendre: Para más información sobre la cuarta fórmula, véase: Fracción continua de Euler.