Estas representaciones tienen tanto importancia histórica en la física convencional, como conexiones con teorías actuales más especulativas.
fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Guelfand junto con Mark Naimark en el mismo año.
Las teorías especulativas modernas tienen potencialmente ingredientes similares, según se detalla a continuación.
El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, que se transforma bajo (1, 0) ⊕ (0, 1).
Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una sola partícula con masa definida m y espín s (o helicidad), se deduce que[23][nb 5] :
(X1)donde a†, a se interpretan como los operadores de creación y aniquilación respectivamente.
Las cuerdas relativistas clásicas se pueden manejar en el marco lagrangiano utilizando la acción de Nambu-Goto.
[26] Esto da como resultado una teoría relativistamente invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo.
[62] Apelando a la simple conexión, se aplica la segunda afirmación del truco unitario.
están indexadas por μ para μ= 0, 1/2, 1, ... (los pesos más altos son en realidad 2μ= 0, 1, 2, ..., pero la notación aquí está adaptada a la de
al resolver para J y K, se obtienen todas las representaciones irreducibles de
para encontrar que exp corresponde a la componente conectada del grupo de Lorentz.
Por lo tanto, topológicamente,[72] donde el último factor no está simplemente conectado: geométricamente, se ve (para propósitos de visualización,
(véase convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación).
Dado que cada πg tiene dos elementos, según la construcción anterior, existe una aplicación de recubrimiento 2:1 p : G → SO(3; 1)+.
asociada es, utilizando la ecuación (G6) y la definición anterior, para los elementos básicos de
Se deduce que el centro de SO(3; 1)+ es trivial y esto excluye el tercer caso.
La conclusión es que toda representación Π : SO(3; 1)+ → GL(V) y toda representación proyectiva Π : SO(3; 1)+ → PGL(W) para espacios vectoriales de dimensión finita V, W son fieles.
Esto se deduce de que la conjugación compleja conmuta con la suma y la multiplicación.
como Usando las identidades anteriores (interpretadas como suma puntual de funciones), para SO(3; 1)+ se obtiene donde la declaración para las representaciones del grupo se deriva de exp(X)= exp(X).
[117] Puede expresarse como la composición del conjugado complejo con la multiplicación por una matriz unitaria.
[118] Esto es matemáticamente consistente, consúltese el teorema de Wigner, pero con requisitos terminológicos muy estrictos, Π no es una representación.
Una función cuadrada arbitraria integrable f en una esfera unitaria se puede expresar como[121] :
y son únicos hasta un signo (ya que ±Πf da el mismo f), por lo tanto
El segundo conjunto, α, β, γ, son los exponentes correspondientes en a, b, c para una de las dos soluciones linealmente independientes y, en consecuencia, α′, β′, γ′ son exponentes en a, b, c para la segunda solución.
Gelfand y Naimark obtuvieron por primera vez la fórmula de Plancherel para estos grupos mediante cálculos complicados.
[132] Se pueden encontrar relatos elementales de este enfoque en Rühl (1970) y Knapp (2001).
Dado que −I actúa como (−1)k en la serie principal y trivialmente en el resto, estas darán todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz, siempre que k se considere par.
[nb 36] Entonces, la aplicación U definida en Cc(G) por se extiende a un elemento unitario de
[66] Para simplificar, se supone que un j dado aparece como máximo una vez en una representación determinada (este es el caso de las representaciones de dimensión finita), y se puede demostrar que[145] es posible evitar la suposición (con un cálculo un poco más complicado) con los mismos resultados.