Teoría de la representación del grupo de Lorentz
Estas representaciones tienen tanto importancia histórica en la física convencional, como conexiones con teorías actuales más especulativas.
fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Guelfand junto con Mark Naimark en el mismo año.
Las teorías especulativas modernas tienen potencialmente ingredientes similares, según se detalla a continuación.
El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, que se transforma bajo (1, 0) ⊕ (0, 1).
Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una sola partícula con masa definida m y espín s (o helicidad), se deduce que[23][nb 5] :
(X1)donde a†, a se interpretan como los operadores de creación y aniquilación respectivamente.
Las cuerdas relativistas clásicas se pueden manejar en el marco lagrangiano utilizando la acción de Nambu-Goto.
[26] Esto da como resultado una teoría relativistamente invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo.
[62] Apelando a la simple conexión, se aplica la segunda afirmación del truco unitario.
están indexadas por μ para μ= 0, 1/2, 1, ... (los pesos más altos son en realidad 2μ= 0, 1, 2, ..., pero la notación aquí está adaptada a la de
al resolver para J y K, se obtienen todas las representaciones irreducibles de
para encontrar que exp corresponde a la componente conectada del grupo de Lorentz.
Por lo tanto, topológicamente,[72] donde el último factor no está simplemente conectado: geométricamente, se ve (para propósitos de visualización,
(véase convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación).
Dado que cada πg tiene dos elementos, según la construcción anterior, existe una aplicación de recubrimiento 2:1 p : G → SO(3; 1)+.
asociada es, utilizando la ecuación (G6) y la definición anterior, para los elementos básicos de
Se deduce que el centro de SO(3; 1)+ es trivial y esto excluye el tercer caso.
La conclusión es que toda representación Π : SO(3; 1)+ → GL(V) y toda representación proyectiva Π : SO(3; 1)+ → PGL(W) para espacios vectoriales de dimensión finita V, W son fieles.
Esto se deduce de que la conjugación compleja conmuta con la suma y la multiplicación.
como Usando las identidades anteriores (interpretadas como suma puntual de funciones), para SO(3; 1)+ se obtiene donde la declaración para las representaciones del grupo se deriva de exp(X)= exp(X).
[117] Puede expresarse como la composición del conjugado complejo con la multiplicación por una matriz unitaria.
[118] Esto es matemáticamente consistente, consúltese el teorema de Wigner, pero con requisitos terminológicos muy estrictos, Π no es una representación.
Una función cuadrada arbitraria integrable f en una esfera unitaria se puede expresar como[121] :
y son únicos hasta un signo (ya que ±Πf da el mismo f), por lo tanto
El segundo conjunto, α, β, γ, son los exponentes correspondientes en a, b, c para una de las dos soluciones linealmente independientes y, en consecuencia, α′, β′, γ′ son exponentes en a, b, c para la segunda solución.
Gelfand y Naimark obtuvieron por primera vez la fórmula de Plancherel para estos grupos mediante cálculos complicados.
[132] Se pueden encontrar relatos elementales de este enfoque en Rühl (1970) y Knapp (2001).
Dado que −I actúa como (−1)k en la serie principal y trivialmente en el resto, estas darán todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz, siempre que k se considere par.
[nb 36] Entonces, la aplicación U definida en Cc(G) por se extiende a un elemento unitario de
[66] Para simplificar, se supone que un j dado aparece como máximo una vez en una representación determinada (este es el caso de las representaciones de dimensión finita), y se puede demostrar que[145] es posible evitar la suposición (con un cálculo un poco más complicado) con los mismos resultados.
